Kmitání (mechanické a elektromagnetické)
Mechanické kmitání
Kinematika kmitavého pohybu
harmonický pohyb:
analogie mezi kmitavým pohybem a rovnomìrným pohybem po kružnici
y=ymsinωt
v=ωymcosωt
a=-ω2ymsinωt=-ω2y
maximální rychlost je v rovnovážné poloze (y=0)
nulová rychlost je v bodech obratu (y=ym)
okamžité zrychlení má opaèný smìr než okamžitá výchylka y
maximální zrychlení je v bodech obratu (y=ym)
nulové zrychlení je v rovnovážné poloze (y=0)
fáze kmitavého pohybu
y=ymsinω(t+t0)=ymsin(ωt+ωt0)=ymsin(ωt+φ0)
φ0=ωt0
- poèáteèní fáze
fázový rozdíl φ1-φ2
pro φ1-φ2=2kπ kmitání se stejnou fází
pro φ1-φ2=(2k+1)π kmitání s opaènou fází
v=ωymcos(ωt+φ0)=ωymsin(ωt+φ0+π/2)
a=-ω2ymsin(ωt+φ0)=ω2ymsin(ωt+φ0+π)
fáz. rozdíl y,v: π/2
fáz. rozdíl v,a: π/2
fáz. rozdíl y,a: π
Složené kmitání
princip superpozice
Výsledná poloha tìlesa, které souèasnì koná více pohybù, je stejná, jako kdyby pohyby konala po sobì v libovolném poøadí.
y=y1+y2+...+yn
poèáteèní fáze φ0=(φ1+φ2)/2 (pro 2 kmitání)
rovnice složeného kmitání 2 izochronních kmitání (se stejnou frekvencí a amplitudou)
y1=ymsin(ωt+φ1)
y2=ymsin(ωt+φ2)
y=y1+y2=2ymcos[(φ2-φ1)/2]sin[ωt+(φ1+φ2)/2]
amplituda 2ymcos[(φ2-φ1)/2]
Dynamika kmitavého pohybu
F=ma=-mω2y
FG=Fp
mg=kΔl
F=FG+Fp=-mg+k(Δl-y)=-mg+kΔl-ky=-ky
-ky=-mω2y
ω2=k/m
kyvadlo: k=mg/l
Pøemìny energie v mechanickém oscilátoru
E=Ek+Ep
Ep=½ky2 (potenciální energie pružnosti)
E=½mv2+½ky2=½mω2ym2cos2(ωt+φ0)+½kym2sin2(ωt+φ0)
ω2=k/m
E=½kym2cos2(ωt+φ0)+½kym2sin2(ωt+φ0)=½kym2
Nucené kmitání mechanického oscilátoru
amplituda závisí na frekvenci vnìjšího pùsobení
Elektromagnetické kmitání
Pøi nabití kondenzátoru se mezi deskami vytvoøí el. pole.
Po pøipojení k cívce se vybíjí a el. energie se mìní na energii magn. pole cívky.
Elektromagnetické kmitání oscilaèního obvodu je tlumené (ztráty pøemìnou na vnitø. energii)
pro okamžité napìtí kondenzátoru platí:
u=Umcosω0t
pro okamžitý proud platí:
i=Imcos(ω0t-π/2)=Imsinω0t
(ω0 - úhlová frekvence vlastního kmitání)
UC=UL (napìtí na kondenzátoru je rovno napìtí na cívce)
XCIm=XLIm
1/(ω0C)=ω0L
ω0=
T0=2π
(Thomsonùv vztah)
Tlumené kmitání není harmonické
ω=
δ=R/(2L)
δ - koeficient útlumu (R - odpor cívky, L - indukènost cívky)
pokud ω0<δ, oscilaèní obvod se vùbec nerozkmitá
Nucené kmitání elektromagnetického oscilátoru
Po pøipojení oscilaèního obvodu ke zdroji harmonického napìtí
u=Umsinωt
kmitá oscilaèní obvod s frekvencí ω.
Frekvence nezávisí na parametrech oscilaèního obvodu (L,C)
Nejvìtší amplituda nuceného kmitání pro ω=ω0
Energie elektromagnetického oscilátoru
v okamžiku, kdy u=Um, i=0:
E=Ee=½CUm2
v okamžiku, kdy u=0, i=Im:
E=Em=½LIm2
E=Ee+Em=½CUm2+½LIm2
Analogie mazi mechanickým a elektromagnetickým oscilátorem
| mechanický oscilátor | elektromagnetický oscilátor | ||
| okamžitá výchylka | y | okamžitý náboj | q |
| rychlost | v | okamžitý proud | i |
| energie potenciální | Ep | energie elektrická | Ee |
| energie kinetická | Ek | energie magnetická | Em |
| síla | F | elektrické napìtí | u |
| hmotnost | m | indukènost | L |
| tuhost pružiny | k=F/y | reciproká hodnota kapacity | 1/C=u/q |